凯利准则（Kelly Criterion）

核心思想

凯利准则是一种仓位配置（position sizing）框架，用于确定应投入多少资本，以最大化长期复利财富增长。

与均值–方差优化不同：

凯利直接优化复合收益增长。

核心问题：

在存在优势（edge）且结果存在不确定性的情况下，应该投入多少资本？

其结果是在重复独立机会下理论上的最优杠杆水平。

定义

对于二元下注问题：

• 获胜概率：$p$
• 失败概率：$q=1-p$
• 单位风险收益比：$b$

最优资金比例：

\[f^=\frac{bp-q}{b}\]

其中：

• $f^$ = 总财富中投入比例
• $b$ = 每单位风险对应收益
• $p$ = 胜率
• $q$ = 失败概率

特殊情况：赔率相等（$b=1$）

\[f^=2p-1\]

示例：

• $p=0.60\rightarrow f=0.2$
• $p=0.55\rightarrow f=0.1$
• $p=0.50\rightarrow f=0$

没有优势 → 不下注。

推导

假设进行重复投资。

财富演化：

\[W_T = W_0 \prod_t(1+fR_t)\]

凯利目标：

\[\max_fE[\log(1+fR)]\]

对数刻画复利增长。

等价形式：

\[\max_f \lim_{T\to\infty} \frac1T \log\left(\frac{W_T}{W_0}\right)\]

连续收益版本

假设：

\[R\sim(\mu,\sigma^2)\]

近似凯利杠杆：

\[f^ = \frac{\mu}{\sigma^2}\]

其中：

• $\mu$ = 超额收益
• $\sigma^2$ = 方差

解释：

• Alpha 越高 → 仓位越大
• 不确定性越高 → 杠杆越低

这是量化金融中常见公式。

分数凯利（Fractional Kelly）

完整凯利通常过于激进。

常见形式：

\[f=\lambda f^*\]

其中：

\[\lambda\in[0.25,0.50]\]

典型选择：

• 四分之一凯利
• 半凯利

原因：

• 参数估计误差
• 非平稳性
• 回撤控制
• 交易成本

与组合理论关系

高斯假设下：

\[w^* \propto \Sigma^{-1}\mu\]

类似：

• 最大夏普组合
• 无约束均值–方差优化

区别：

方法	目标
均值–方差	最大化效用
夏普比率	最大收益风险比
凯利	最大化几何增长

在量化股票中的应用

凯利思想常见于：

• 组合杠杆
• alpha 权重
• 资金配置
• 策略放大
• 风险预算

实际生产环境通常不会直接部署纯凯利。